半加器

什么是半加器？

回想一下小学一年级学竖式计算的时候，你是怎么算 1 + 1 的？

  1
+ 1
---
  0  余 1 → 进位

个位写 0，进上去 1 到十位。半加器（Half Adder）就是把这个过程用电来实现的电路——它计算两个二进制位相加，输出”这一位的结果（和）“和”要不要进到下一位（进位）“。

真值表

两个 1 位二进制数 A、B 相加，可能有 4 种情况：

A	B	和 (S)	进位 (C)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

观察这张表，你有发现什么吗？

• 和（S）列：0,1,1,0——这不就是 XOR（异或） 吗？两个输入不同时为 1，相同时为 0。
• 进位（C）列：0,0,0,1——这不就是 AND（与） 吗？只有两个都是 1 时才为 1。

所以半加器的核心思路就是：用 XOR 求”和”，用 AND 求”进位”。

💡 为什么不用 OR？ 因为 1+1 的情况，OR 会输出 1（错误），而 AND 正确输出 1（进位）。同时 0+1 时 OR 输出 1（正确），但 XOR 也正确输出 1（和）。XOR 和 AND 刚好互补。

电路实现

graph LR
    subgraph HA[半加器]
        A[A] --> XOR[XOR 异或门]
        B[B] --> XOR
        A --> AND[AND 与门]
        B --> AND
    end
    XOR --> S[和 S]
    AND --> C[进位 C]

局限性

半加器只能处理两个输入位的相加。但在实际计算中，我们经常需要加三个位——因为还有来自低位的进位。

比如计算二进制加法 $11 + 01$：

  1 1
+ 0 1
-----
  ? ?

最低位是 1+1，结果是 0 进位 1。但次低位是 1+0+进位(1)=？半加器没法处理这个”三个数相加”的场景。这就需要全加器来解决。

小结

半加器只用两个门——XOR 和 AND——就实现了一位的二进制加法。它是所有加法器乃至 CPU 中 ALU 的基础。但受限于”无法处理进位输入”，我们需要更完善的全加器。