全加器

什么是全加器？

还记得半加器的局限吗？它只能加两个数，但实际计算中经常需要加三个——因为还有来自低位的进位。

还是用竖式来理解。计算二进制 $11 + 01$：

  1   1
+ 0   1
--------

从右往左算：

• 最低位（个位）：1 + 1 = 0，进位 1 ✅ 半加器就能做
• 第二位：1 + 0 + 进位(1) = ？这里有三个数要同时加。半加器做不了。

全加器（Full Adder） 就是为解决这个问题而生的——它多了一个进位输入（Carry-in，Cin），可以处理三个位的加法。

真值表

A、B 是两个加数，Cin 是来自低位的进位：

A	B	Cin	和 (S)	进位 (Cout)
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

电路实现

全加器可以用两个半加器 + 一个或门巧妙地搭出来：

graph TD
    subgraph HA1[半加器 1：算 A + B]
        A[A] --> XOR1[XOR]
        B[B] --> XOR1
        A --> AND1[AND]
        B --> AND1
    end

    subgraph HA2[半加器 2：算 A+B 的结果 + Cin]
        Cin[C<sub>in</sub>] --> XOR2[XOR]
        S1[中间和] --> XOR2
        Cin --> AND2[AND]
        S1 --> AND2
    end

    XOR1 --> S1
    XOR2 --> S[和 S]
    AND1 --> OR[或门 OR]
    AND2 --> OR
    OR --> Cout[进位 C<sub>out</sub>]

思路是这样的：

1. 先用一个半加器算 A + B，得到”中间和”和”进位 1”
2. 再用第二个半加器算 中间和 + Cin，得到”最终和”和”进位 2”
3. 只要”进位 1”或”进位 2”中有一个为 1，最终进位就是 1（用或门）

级联：接力赛式的多位加法

全加器的真正力量在于级联——像接力赛一样把多个全加器串起来，低位的进位输出传给高位的进位输入：

graph LR
    FA0[FA₀] --> S0[S₀]
    FA1[FA₁] --> S1[S₁]
    FA2[FA₂] --> S2[S₂]
    FA3[FA₃] --> S3[S₃]

    A0[A₀] --> FA0
    B0[B₀] --> FA0
    A1[A₁] --> FA1
    B1[B₁] --> FA1
    A2[A₂] --> FA2
    B2[B₂] --> FA2
    A3[A₃] --> FA3
    B3[B₃] --> FA3

    C0[0] --> FA0
    FA0 -->|进位| FA1
    FA1 -->|进位| FA2
    FA2 -->|进位| FA3
    FA3 --> Cout[C<sub>out</sub>]

这就像接力赛跑：第一棒（FA₀）跑完把接力棒（进位）传给第二棒（FA₁），第二棒传给第三棒……N 个全加器串联就可以计算 N 位的二进制加法。

例如 8 个全加器串联 = 8 位加法器，可以计算 0~255 的加法。

小结

全加器通过增加”进位输入”解决了多位加法的进位传递问题。它是 CPU 中 算术逻辑单元（ALU） 的核心计算部件——ALU 中的加法器就是由全加器级联构成的。接下来，我们将从”加法”走向”记忆”，学习另一种截然不同的电路——SR 锁存器。